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I am working on the file "Linear Regression.ipynb".
The first task is:
对于这个数据集，$x$ 是一个$\mathbb{R}$上的一维向量。$x_1^i$是该区域的平均房间数。
要进行监督学习，我们需要首先决定如何来表示假设/函数 $h$。较为简单的情况下，我们选取 $x$ 的线性函数来预测 $y$ ：
$$ h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1x_1 $$
这里，$\theta_i$称为参数parameters（有时也称为权重weights），通过这组参数，我们将 $\chi$ 线性映射到 $\gamma$。在不引发误解的情况下，我们将 $h_\theta(x)$简写为 $h(x)$。习惯上，我们设 $x_0=1$ （称为截距项intercept term），这样
$$ h(x) = \sum_{i=0}^n \theta_ix_i = \theta^Tx $$
对于右式，我们将 $\theta$ 和 $x$ 看做向量，$n$ 是特征数量（不包括 $x_0$ )
这样，给定训练集，我们需要挑选，或者说学习出参数 $\theta$ 的值。一个直观的方法是使 $h(x)$ 尽量接近 $y$，至少对于训练集来说，尽量地接近。为了更正式地定义“接近”，我们定义成本函数cost function：
$$ J(\theta) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m (h_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)})^2$$
1. 最小二乘法 Linear Regression
我们希望挑选出使 $J(\theta)$ 最小化的值 $\theta$。一种搜索算法的思路是，我们随机猜测一个 $\theta$，然后按某种规则重复地改变 $\theta$ 使得 $J(\theta)$ 不断变小，直到 $\theta$ 收敛到某个值使得 $J(\theta)$ 取得最小值。
特别地，我们将考虑梯度下降Gradient Descent算法。如下图所示，$J(\theta)$ 是关于 $\theta_0$ 和 $\theta_1$ 的函数。首先我们随机选择一个 $ \theta = [-10, 17.5]$，想象在图形中下坡，我们需要选择一个下降最快的方向。不断地前进，直到来到某个局域最小值local minima。在我们的图中，只有一个全局最小值global minima（以红星标记）。但梯度下降的一个特性是，如果存在局域最小值时，根据随机选择初始化 $\theta$ 的不同，我们可能会到达不同的局域最小值。局部最小值的问题，在今后的模型中会遇到。
Can you write Python code for it?

=====
Give me a the Python code you requested?
assistant
#Here is the Python code you requested.

# 读取训练集和目标变量
X, y = df[["RM"]].values, df["Price"].values
m, n = X.shape
# 增加截距列
X_intercept = np.column_stack((np.ones((m, 1)), X))

@np.vectorize
def cost_function(*args):
    """成本函数"""
    theta = np.array(args)
    return 0.5 * ((X_intercept @ theta - y) ** 2).sum()

def gradient_descent_optimize(cost_func, init_theta=None):
    """使用梯度下降寻找最优的theta"""
    alpha = 0.00003

    def good_enough(old_cost, new_cost):
        return np.abs(new_cost - old_cost) / old_cost < 0.00000001

    def improve_theta(old_theta):
        return old_theta - alpha * ((X_intercept @ old_theta - y) @ X_intercept)

    if init_theta is None:
        init_theta = np.array([0, 0])
    path_ = [init_theta]
    o_theta, o_cost = init_theta, cost_function(*init_theta)
    while True:
        n_theta = improve_theta(o_theta)
        n_cost = cost_func(*n_theta)
        path_.append(n_theta)
        logging.debug((o_theta, n_theta, o_cost, n_cost))
        if good_enough(o_cost, n_cost):
            break
        o_theta, o_cost = n_theta, n_cost
    Result = namedtuple('Result', ['theta', 'path'])
    return Result(theta=n_theta, path=np.array(path_))

# 使用梯度下降获取优化结果
init_guess = np.array([-10, 17.5])
gradient_descent_result = gradient_descent_optimize(cost_function, init_theta=init_guess)
path = gradient_descent_result.path
sampled_path = np.concatenate((np.array([path[0, ]]),
                               path[(2 ** np.array(range(int(np.ceil(np.log2(path.shape[0])))))).astype(np.int32), ]))
sampled_path_mat = sampled_path.T

# 使用sklearn的LinearRegression模型，直接获取最终的theta值
regr = LinearRegression()
regr.fit(X, y)
theta0_optimize, theta1_optimize = regr.intercept_, regr.coef_[0]
minima = np.array([theta0_optimize, theta1_optimize])
minima_ = minima.reshape(-1, 1)

# 根据最优化的theta，生成以此为中心的网格数据
step = 0.2
theta0_min, theta0_max = theta0_optimize - np.abs(theta0_optimize), theta0_optimize + np.abs(theta0_optimize)
theta1_min, theta1_max = theta1_optimize - np.abs(theta1_optimize), theta1_optimize + np.abs(theta1_optimize)
theta0_range,...